Théorie statistique : Méthode des moindres carrés

RappelAnalyse statistique à une variable

Si on réalise \(n\) mesures de \(x\), avec les résultats \(x_1, x_2, ..., x_n\), on écrira le résultat final sous la forme :

\[x=\overline{x}\pm\frac{s}{\sqrt{n}}\]

avec \(\overline{x}\) et \(\frac{s}{\sqrt{n}}\)[1] les meilleures estimation de la valeur vraie (toujours inconnue) et de l'incertitude-type.

DéfinitionRégression linéaire

Dans de nombreux cas, on cherche à savoir dans quelle mesure des données expérimentales s'accordent avec une loi linéaire du type \(y=a+b\;x\).

Dans le cas où toutes les mesures de \(y\) ont la même incertitude-type, la méthode des moindres carrés consiste à chercher les valeurs de \(a\) et \(b\) qui rendent minimum :

\(\sum_{i=1}^{n} \left( y_i-(a+b\;x_i)\right)^2\)

La minimisation conduit à :

\[a=\frac{n \sum_{i=1}^{n} x_i y_i-\sum_{i=1}^{n} x_i \sum_{i=1}^{n} y_i}{\Delta}\]

\[b=\frac{\sum_{i=1}^{n} x_i^2 \; \sum_{i=1}^{n} y_i-\sum_{i=1}^{n} x_i \; \sum_{i=1}^{n} x_i y_i}{\Delta}\]

\[\Delta = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 -\left( \sum_{i=1}^{n} x_i \right)^2\]

ComplémentIncertitudes-type sur les coefficients a et b

On se place dans le cas où toutes les mesures de \(y\) ont la même incertitude. On obtient alors :

\[\sigma_a = \sigma_y \sqrt{\frac{n}{\Delta}}\]

\[\sigma_b = \sigma_y \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} x_i^2}{\Delta}}\]

ExempleOn dispose de deux mesures courant-tension pour un dipôle ohmique de valeur de référence 47 ohms

i (A)

u (V)

0.0442

2.05

0.0847

4.01

\(\sum i_k=0.1289\)

\(\sum u_k=6.06\)

\(\sum u_k i_k=0.7030\)

\(\sum (i_k)^2=0.007340\)