Théorie statistique : Méthode des moindres carrés
Rappel : Analyse statistique à une variable
Si on réalise \(n\) mesures de \(x\), avec les résultats \(x_1, x_2, ..., x_n\), on écrira le résultat final sous la forme :
\[x=\overline{x}\pm\frac{s}{\sqrt{n}}\]
avec \(\overline{x}\) et \(\frac{s}{\sqrt{n}}\)[1] les meilleures estimation de la valeur vraie (toujours inconnue) et de l'incertitude-type.
Définition : Régression linéaire
Dans de nombreux cas, on cherche à savoir dans quelle mesure des données expérimentales s'accordent avec une loi linéaire du type \(y=a+b\;x\).
Dans le cas où toutes les mesures de \(y\) ont la même incertitude-type, la méthode des moindres carrés consiste à chercher les valeurs de \(a\) et \(b\) qui rendent minimum :
\(\sum_{i=1}^{n} \left( y_i-(a+b\;x_i)\right)^2\)
La minimisation conduit à :
\[a=\frac{n \sum_{i=1}^{n} x_i y_i-\sum_{i=1}^{n} x_i \sum_{i=1}^{n} y_i}{\Delta}\]
\[b=\frac{\sum_{i=1}^{n} x_i^2 \; \sum_{i=1}^{n} y_i-\sum_{i=1}^{n} x_i \; \sum_{i=1}^{n} x_i y_i}{\Delta}\]
\[\Delta = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 -\left( \sum_{i=1}^{n} x_i \right)^2\]
Complément : Incertitudes-type sur les coefficients a et b
On se place dans le cas où toutes les mesures de \(y\) ont la même incertitude. On obtient alors :
\[\sigma_a = \sigma_y \sqrt{\frac{n}{\Delta}}\]
\[\sigma_b = \sigma_y \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} x_i^2}{\Delta}}\]
Exemple : On dispose de deux mesures courant-tension pour un dipôle ohmique de valeur de référence 47 ohms
i (A) | u (V) | |
---|---|---|
0.0442 | 2.05 | |
0.0847 | 4.01 | |
\(\sum i_k=0.1289\) | \(\sum u_k=6.06\) | \(\sum u_k i_k=0.7030\) |
\(\sum (i_k)^2=0.007340\) |